연산의 기본정리

우리가 선사 시대에 살아 있다고 상상하고 이렇게 생각해 봅시다 어떻게 시계 없이 시간을 추적할 수 있을까요? 모든 시계는 시간의 흐름을 똑같은 간격으로 나눠서 어떤 반복적인 규칙을 통해 시간을 나타내고 있습니다 이런 반복적인 규칙은 하늘을 바라보면 찾을 수 있습니다 매일 해가 뜨고 지는 것은 가장 명백한 규칙입니다 하지만 좀 더 긴 시간을 재려면 더 긴 주기를 찾아야 합니다 그래서 달을 관측하게 됩니다 달은 오랜 기간 동안 점점 커지고 작아지기를 반복합니다 달은 오랜 기간 동안 점점 커지고 작아지기를 반복합니다 보름달 사이의 날 수를 계산할 때 29를 얻게 됩니다 이것이 한 달의 기원입니다 그러나 29를 같은 크기로 나누려고 하면 문제가 생깁니다 불가능하기 때문이죠 29를 동일하게 나누는 유일한 방법은 29를 단일 단위로 쪼개는 것입니다 29는 소수입니다 쪼갤 수 없는 수라고 생각하세요 만약 어떤 수를 1보다 큰 동일한 수로 분해할 수 있다면 이 수를 합성수라고 부릅니다 그럼 소수가 모두 몇 개나 존재할까요? 그리고 얼마까지 커질 수 있을까요? 모든 수를 두 가지 범주로 나누어 봅시다 소수를 왼편에 합성수는 오른쪽에 나열합시다 처음에는 앞뒤로 춤을 추는듯한 규칙이 보입니다 명백한 규칙이 안 보일 겁니다 큰 그림을 보기 위해 현대 기법을 사용해 봅시다 바로 울람 나선형을 사용하는 겁니다 우선 모든 가능한 숫자를 커져가는 나선형 형태로 나열합니다 그리고 나서, 모든 소수를 파란색을 색칠합니다 마지막으로 규칙을 보기 위해 축소를 해봅니다 이 소수 규칙은 끝없이 무한하게 반복됩니다 이 소수 규칙은 끝없이 무한하게 반복됩니다 놀랍게도 이 패턴의 구조는 오늘날에도 풀리지 않았습니다 정말 굉장한 일이군요 이제 300BC 고대 그리스로 돌아가 봅시다 알렉산드리아의 철학자로 알려진 유클리드는 모든 숫자는 이 두 개의 확실한 범주로 나뉠 수 있다는 것을 이해했습니다 그는 어떤 숫자든 가장 작은 동일한 수가 될 때까지 반복해서 나뉠 수 있다고 인식하기 시작했습니다 그리고 정의를 하자면 제일 작은 수는 항상 소수입니다 따라서 그는 모든 수는 제일 작은 소수로 만들어졌다는 것을 알게 되었습니다 명확하게 하기 위해 세상의 모든 수를 상상해 보세요 그리고 모든 소수를 무시하세요 이제 아무 합성수를 골라서 그 수를 쪼개 보세요 그러면 항상 소수가 남게 됩니다 그래서 유클리드는 모든 수는 작은 소수들의 그룹으로 표현될 수 있다는 것을 알았습니다 이것을 집짓기블록으로 생각해 봅시다 어떤 수를 고르더라도 그 수보다 작은 소수를 여러번 더해서 구할 수 있습니다 이것이 그가 발견한 연산의 기본정리의 근원입니다 아무 숫자를 고르세요 30이라 합시다 그리고 이 숫자를 동일한 소수로 분해해 보세요 이것을 소인수분해라고 합니다 그럼 소인수를 얻을 수 있습니다 이 경우 2,3,5 가 30의 소인수입니다 유클리드는 그다음엔 소인수를 특정한 횟수만큼 곱해서 원래의 숫자로 만들 수 있다고 인식했습니다 이 경우에는, 단순하게 각 소수들 한 번만 곱해서 30을 만들어 봅시다 2 X 3 X 5 가 30의 소인수분해입니다 이것을 특별한 키 나 조합이라 생각해 보세요 다른 소인수를 곱해서 30을 만들 수는 없습니다 그래서 모든 수는 오직 하나의 소인수분해 조합으로 이루어져 있습니다 좋은 비유로 각 수를 서로 다른 자물쇠라고 생각해 보세요 각 자물쇠의 고유의 번호 조합이 각 수의 소인수분해입니다 모든 자물쇠는 서로 다른 번호 조합으로 이루어져 있습니다 모든 수는 서로 다른 소인수분해 조합을 갖고 있습니다