모듈로 곱셈

(A * B) mod C = (A mod C * B mod C) mod C

A=4, B=7, C=6일 때

(A * B) mod C = (A mod C * B mod C) mod C 가 맞는지 알아봅시다

LHS= 식의 좌변

RHS = 식의 우변

LHS = (A * B) mod C

LHS = (4 * 7) mod 6

LHS = 28 mod 6

LHS = 4

RHS = (A mod C * B mod C) mod C

RHS = (4 mod 6 * 7 mod 6) mod 6

RHS = (4 * 1) mod 6

RHS = 4 mod 6

RHS = 4

(A * B) mod C = (A mod C * B mod C) mod C임을 증명해 봅시다

LHS = RHS임을 보여야 합니다.

몫-나머지 정리(quotient remainder theorem)에 의해서 A와 B 를 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

A = C * Q1 + R1 이때 0 ≤ R1 < C 이고 Q1는 정수이다. A mod C = R1

B = C * Q2 + R2 이때 0 ≤ R2 < C이고 Q2 는 정수이다. B mod C = R2

LHS = ((C * Q1 + R1 ) * (C * Q2 + R2) ) mod C

LHS = (C * C * Q1 * Q2 + C * Q1 * R2 + C * Q2 * R1 + R1 * R 2 )  mod C

LHS = (C * (C * Q1 * Q2 + Q1 * R2 + Q2 * R1)  + R1 * R 2 )  mod C

mod C로 정리하면 C의 배수를 없앨 수 있습니다.

LHS = (R1 * R2) mod C

다음은 RHS를 정리해봅시다.

RHS = (A mod C * B mod C) mod C

RHS = (R1 * R2 ) mod C

따라서 RHS = LHS 입니다.