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주요 내용

합동과 모듈

합동과 모듈

다음과 같은 식을 볼 수도 있을 겁니다:
AB(mod C)
이것을 AB는 모듈 C에 대한 합동 관계라고 합니다.
이제 일반 모듈로 연산자의 사고 실험을 통해 합동과 모듈의 의미를 알아봅시다.
모든 정수에 대한 mod 5를 계산한다고 가정해 봅시다:
5조각을 각각 0, 1, 2, 3, 4로 부릅시다. 그러면, 각 정수에, mod 5의 정수값에 해당하는 조각을 넣습니다.
이 조각들을 여러 수를 보관할 수 있는 양동이라고 생각해봅시다. 예를 들어, 26 mod 5=1이기 때문에 26은 1이라는 조각에 들어갑니다.
위 그림은 각 조각에 들어갈 정수들을 나타낸 것입니다.
같은 조각에 속하는 숫자들을 나타내는 방법이 있으면 유용할 것입니다 (위 예에서 26은 1, 6, 11, 16, 21과 같은 조각에 들어 있다는 것을 주목하세요).
두 값이 같은 조각에 들어 있다는 것을 나타내는 일반적 방법은 두 값이 같은 동치류에 있다고 하는 것입니다.
이를 mod C에 대해 수학적으로 표현하자면 AB (mod C)가 됩니다.
위 식은 AB는 모듈 C에 대한 합동 관계라고 읽습니다.
이 식을 조금 더 자세히 봅시다.
  1. 는 합동을 나타내는 기호입니다. AB의 값이 같은 동치류라는 것을 의미합니다.
  2. (mod C)AB에 적용할 연산을 말합니다.
  3. 이 두 개가 모두 있으면, “”를 모듈 C에 대한 합동 관계라고 합니다.
e.g. 2611 (mod 5)
26 mod 5=1 이므로 1에 대한 동치류입니다,
11 mod 5=1 이므로 마찬가지로 1에 대한 동치류입니다.
이것은 A mod C와는 다릅니다: 2611 mod 5입니다.

합동과 모듈(Congruence modulo) 에 대한 이해

양의 정수 C를 이용하여 아까와 같은 사고 실험을 통해 합동과 모듈이 무엇인지에 대해 더 자세히 알아봅시다.
먼저 C조각을 0,1,2,,C2,C1라고 표시합니다.
그런 후 각 정수를 정수값 mod C의 값에 부합되는 조각에 이를 넣습니다.
아래는 각 조각들에서 발견할 수 있는 대표값을 표시한 그림입니다.
0이라고 표시된 양동이에는 다음과 같은 값이 있습니다.
,3C,2C,C,0,C,2C,3C,
1이라고 표시된 양동이에는 다음과 같은 값이 있습니다.
,13C,12C,1C,1,1+C,1+2C,1+3C,
2라고 표시된 양동이에는 다음과 같은 값이 있습니다.
,23C,22C,2C,2,2+C,2+2C,2+3C,
C - 1이라고 표시된 양동이에는 다음과 같은 값이 있습니다.C -
,2C1,C1,1,C1,2C1,3C1,4C1
이 실험을 통해 다음과 같은 핵심적인 사항을 관찰할 수 있습니다.
각 조각 안의 값들은 조각에 표식된 값 플러스 마이너스C의 배수입니다.
이는 하나의 조각 안에 있는 어느 두 값 사이의 차이는 C의 배수라는 뜻입니다.
이런 관찰은 동일한 식과 동치류에 대한 이해를 도와줍니다.