소수정리

모든 정수를 나선형으로 나열한다고 상상해 봅시다 그리고 소수는 파란색으로 칠하고 합성수는 검정색으로 남겨 둡시다 여기서 흥미로운 질문은 합성수와 비교했을 때 얼마나 많은 소수가 있냐는 거죠 큰 그림을 보기 위해 멀리서 바라보겠습니다 소수 들이 중심에 빽빽히 밀집되어 있습니다 옅어지는 듯 하지만 끝나지는 않습니다 이렇게 비유해 봅시다 중앙에 나무 한 그루가 있는데 무한히 높은 나무죠 이 나무에서 떨어진 잎사귀들은 소수를 뜻합니다 불규칙하게 밑에서 흐트러져 있고 나무 밑둥에 밀집되어있죠 그리고 이 나무에서 조금 멀어진다면 잎들이 조금 줄어들겠지만 항상 찾을 수는 있습니다 이것은 더 큰 정수를 볼 때 어떤 일이 일어나는지 정확히 말해줍니다 우리는 항상 소수를 더 찾지만 우리가 찾는 소수의 수가 점점 줄어들어 찾기 힘들어집니다 이제 원래의 질문으로 돌아갑시다 어떤 정수 X보다 작은 소수가 얼마나 있을까요? 표를 만들어 보면 소수의 수가 항상 증가한다는 것을 알 수 있습니다 그러나 우리가 더 많은 수를 찾을수록 점점 수가 줄어들죠 소수의 수를 그래프화 시켜보겠습니다 소수의 개수는 세로축에 찾는 크기인 X는 가로축에 나타내겠습니다 곡선이 평평하지 않네요 많은 수를 포함하기 위해 줌 아웃 해보면 조금씩 조금씩 증가하고 있습니다 일단 소수의 밀도에 대해 생각해 봅시다 그것은 어떤 정수 X보다는 작죠 우리는 찾은 소수의 개수를 찾는 개수로 나누어서 밀도를 구할 수 있습니다 처음 100개의 정수에서는 25개의 소수가 보입니다 그러므로 25%가 소수죠 처음 1000개의 정수중에서는 1229개의 소수가 있습니다 12.29%가 소수인 것이죠 처음 만 개의 정수 중에는 7.84%가 소수입니다 그리고 처음 백만개의 정수 중에서는 5.76%가 소수죠 우리가 찾는 개수의 크기가 커질수록 밀도는 떨어집니다 감소하는 속도가 느리긴 하지만요 여기 그래프가 있습니다 가로축은 범위를 세로축은 소수의 밀도를 나타내죠 우리가 줌 아웃하면 밀도는 계속 줄어들지만 줄어드는 속도는 점점 느려집니다 놀랍게도 우리는 이 공식을 자연에서 찾았습니다 우리는 은하, 폭풍, 꽃, 그리고 심지어 우리의 몸 속에서도 봤습니다 저항을 최소화하기 위해 설계되어 있었죠 이런 것들은 로그 나선이라고 알려져 있습니다 나선이 회전하면 할수록, 그것이 점점 더 중심에서 멀어진다는 것을 알아두세요 놀랍게도, 로그의 나선형의 비율은 소수의 밀도와 관련이 있습니다 파이라고 부르는 회전수가 있습니다 그리고 중심에서부터의 거리를 r 이라고 부릅시다 r에 대항하는 파이의 그래프를 그리고 줌 아웃시키면 그들이 자연 로그와 연관되어 있음을 알 수 있습니다 이것은 거리의 자연 로그가 회전수에 관련되어 있다는 것을 뜻하죠 자연 로그의 그래프는 보편적으로 변수 x 와, x의 자연 로그인 변수 y를 사용합니다 그래프의 소수의 밀도가 점점 감소하는 것과 같이 점점 가늘어지는 것을 주목하세요 마지막 단계는 y축을 x의 자연로그 분의 1로 바꿔서 이것을 뒤집는 것입니다 그리고 줌 아웃시키면 표시한 소수의 밀도와 정확히 일치한 곡선이 만들어지죠 두 그래프를 겹쳐서 확인해 보겠습니다 초록색 그래프의 선에서 y는 x의 자연로그 분의 1입니다 그리고 빨간색 그래프는 x까지의 소수 밀집도입니다 우리가 줌 아웃 시키면 그것들은 서로 일치합니다 더 줌 아웃하면 더욱 일치하죠 이것은 소수 분포도 점근선의 규칙입니다 이제 소수의 밀도를 세지 않고도 명확하게 말해줄 공식이 있습니다 어떤 정수 x까지 소수의 밀도는 x의 자연로그를 1로 나눈것과 같습니다 1에서 100조까지의 소수의 밀집도를 알아야 한다고 해 봅시다 간단하죠 100조의 자연 로그분의 1은 3.1%입니다 이것을 모든 소수를 직접 세서 얻은 결과인 3.2%와 비교해 봅시다 0.1%가 줄어드네요 그리고 더 큰 숫자를 확인하면 할수록 차이가 0에 가까워집니다 이제 x까지의 소수의 개수를 어림해보기 위하여 이 소수의 밀집 공식을 사용할 수 있다는 것을 알아 두세요 소수의 개수는 우리가 밀도가 변하지 않는다고 가정할 수 있는 밀도 곡선의 아랫면을 말합니다 따라서 소수의 수는 밀도 곱하기 크기나 자연 로그x 분의 x와 같습니다 이것이 소수정리입니다 여기 y는 자연 로그 x분의 x라는 파란색의 그래프가 있고 실제 소수의 그래프인 노란색 그래프가 있습니다 우리가 줌 아웃하면 무한에 가까워질수록 이 선들이 겹쳐집니다 이것이 그것이죠 우리는 어떤 값에 대하여 셀 필요 없이 소수의 수에 대해 알아볼 수 있는 공식이 있습니다 예를 들어 우리가 100조 이하의 소수의 개수를 알아봐야 한다고 합시다 100조의 자연 로그 분의 100조는 3.1조와 같습니다 이것을 실제의 값과 비교해봅시다 3.2조가 나오죠 이것은 비교적 작은 범위임에도 거의 99.99%가 일치합니다 요약하면 어떤 정수 x에 따른 범위가 구분되어 주어지면 소수 밀집도는 자연 로그 x분의 1입니다 그리고 소수의 개수는 자연 로그 x분의 1이죠 이것이 소수정리입니다